Click Fraud Protection
17. november 2017

Monty Hall Problemet


Når man bevæger sig rundt i casino verdenen, så bliver man konstant konfronteret med sandsynligheder, hvor man hele tiden prøver at udregne vinderchancerne. Nogle gange giver det sig selv, men andre gange skal man lige tænke sig om, for sandsynlighedsregning er ikke altid nemt!

Vi har taget os tiden, til at forklare et af sandsynlighedsregningens helt store gåder – nemlig Monty Hall problemet, så hvad går det ud på?

Monty Hall fænomenet

 

Navnet ”Monty Hall problemett” opstor fra tv programmet ”Let's make a deal” med værten Monty Hall. Problemet blev først introduceret i netop dette show, hvilket er hvorfor problemet er blevet tildelt netop dette navn.
Problemet blev opstillet i showet, hvor en tilfældig deltager skulle vælge mellem tre døre. Bag to af dørene stod en ged, og bag den sidste dør stod en bil. Den tilfældige deltager ville vinde hvad end der stod bag den dør, som han eller hun til sidst havde valgt. Spillet går altså ud på, at spilleren vælger en dør efterfulgt af at spilstyreren udelukker en af de to resterende døre (altid én af de døre med en ged bagved), hvorefter spilleren får muligheden for at ændre sit valg og vælge den anden resterende dør, eller stå ved sit oprindelig valg. Vi forklarer lige spillets regler igen i punktform nedenfor.

  • Der er i alt 3 døre
  • Der er 1/3 sandsynlighed for at vælge døren med bilen
  • Der er 2/3 sandsynlighed for at vælge én af de to døre med en ged
  • Spilstyreren ved hvillken dør, som gemmer på bilen
  • Når spilleren har valgt første dør, vil spilstyreren vende én af de to andre døre, som gemmer på en ged.
  • Efter døren med geden er vendt, er der to døre tilbage, og her får spilleren muligheden for enten at beholde sit første valg, eller skifte til den anden lukkede dør.

Det er her, hele problemet bliver interessant, for hvad skal spilleren gøre? Er der nogen forskel på at ændre sin mening eller stå ved sit valg, hvis der alligevel kun er to døre tilbage? Tænk lidt over det, før du læser videre!

Ved første indskydelse skulle man tro, at det er lige meget, hvilken dør man vælger anden gang, fordi sandsynligheden for at vælge den rigtige dør, når der er to døre tilbage, selvfølgelig bare er ½ altså 50%. Det er dog mere teknisk end som så, hvorfor det kræver en mere dybdegående forklaring.

Lad os opstille eksempler med alle de mulige udfald, som kan forekomme.

Lad os antage, at bilen står bag dør to, og at man holder fast ved den først dør, man valgte. På de nedenstående illustrationer har vi vist præcis, hvordan spillet vil blive udspillet. Pilen viser hvor man starter, og hvor man slutter. Det røde kryds illustrerer den dør, som spilstyreren vender, hvis spilleren vælger døren fra pilens start.

Udfald når man står ved sit valg

Udfald 1: Man vælger dør 1, spilstyreren vender dør 3 (fordi han selvfølgelig ikke kan vende dør 2, da der jo står en bil) og bliver ved dør 1 –> man taber !

Udfald 2: Man vælger dør 2 og bliver ved dør 2 –> man vinder !

En af de to nedenstående situationer forekommer, dvs. nedenstående tæller kun for ét udfald. Det kan forklares således: i begge tilfælde har man valgt dør 2, men da der er en ged bagved begge døre, så ved man selvfølgelig ikke, hvilken dør spilstyreren vender. Det er derfor helt ligemeget, hvilken dør spilstyreren vender her.

Udfald 3: Man vælger dør 3 og bliver ved dør 3 –> man taber !

Spiller vælgerDør som spilstyreren venderDør når spiller står ved sit første valgnummer på dør der gemmer en bilResultat
1312Ged
21 eller 322Bil
3132Ged

Sammenlægger vi de udfald hvor man vinder bilen, kan vi her se, at i 1/3 af tilfældene vinder man bilen, hvorimod man i 1/3 + 1/3 = 2/3 af tilfældene vinder en ged.

Lad os nu antage at man i stedet for at stå fast ved sin oprindelige dør, nu vælger en anden dør, og at bilen stadig står bag dør 2.

Udfald hvis man ændrer sit valg

Udfald 1: Man vælger dør 1 og skifter til den anden ledige dør (dør 2) –> man vinder !

Udfald 2: Man vælger dør 2 og skifter til den anden ledige dør (dør 1 eller dør 3) –> man taber!

Ligesom udfald 2 i det første eksempel så kan der kun ske ét af nedenstående, og er altså kun et enkelt udfald. Igen kan spilsyreren selv vælge hvilken af de andre døre der skal vendes, uden at det har en indflydelse på udfaldet.

Udfald 3: Man vælger dør 3 og skifter til den anden ledige dør (dør 2) –> man vinder!

 

Spiller vælgerDør som spilstyreren venderDør hvis spiller skifternummer på dør der gemmer en bilResultat
1322Bil
21 eller 31 eller 3 (den spilstyreren ikke vender)2Ged
3122Bil

 

Her ses at i 2 ud af 3 af de tilfælde hvor spilleren ændrer mening, der vinder han faktisk bilen! Det vil altså sige, at vælger man at skifte sin dør, så har man en større chance for at vinde bilen.

Vi har altså bevist, at står man nogensinde i en lignende situation, så er ens bedste chance, at vælge den anden dør! Vi håber at dette kan give lidt afklaring, da dette problem rent intuitivt kan være svært at forstå første gang, men tager man det udfald for udfald, så giver det hele faktisk mening!

 

Kommentarer


Ingen kommentarer endnu..

Skriv en kommentar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret. Krævede felter er markeret med *

*